Feeds:
Articoli
Commenti

Archive for the ‘matematica’ Category

serie numeriche

proviamo a conoscere meglio le serie ….

Read Full Post »

“derivata”…, tangente…?

dopo aver “scoperto” che la tangente ad una curva in un punto P’ non è quella retta che ha in comune il solo punto P’ (che non è uno solo!) con la curva,  cerca una definizione corretta e “dinamica” ,tracciando una secante P’P  e facendo tendere P →P’.

 disegna una curva continua , scegli un punto P’ su di essa e traccia una secante P’P  , determina graficamente il suo coefficiente angolare m =Δy/Δx

se la curva è y = f(x) , P’ ha coordinate  (a, f(a)) , P ha coordinate  (x, f(x)) , scrivi così quanto vale  m .

 adesso, facendo tendere P →P’ , determina la posizione della tangente e calcola  il suo coefficiente angolare,…..ma è un limite! proprio così, questo limite si chiama derivata prima di f(x)  nel punto “a” e si scrive f ‘(a).

osserva il grafico!

http://www.ies.co.jp/math/java/calc/limsec/limsec.html

Read Full Post »

secanti e tangenti

articolo di prova n 2 

inserimento di un collegamento ….

http://www.ies.co.jp/math/java/calc/limsec/limsec.html

Read Full Post »

inizio attività

testo di prova

studio-di-funzione   

STUDIO DI FUNZIONE      y = f(x)

 

(SCHEMA)

 

 

  1. Classifica la funzione

 

  1. Determina il DOMINIO

 

  1. Eventuali ASINTOTI
    • Verticali ( lim f(x) per xxo in corrispondenza dei valori xo esclusi dal Dominio)
    •  Orizzontali ( lim f(x) per x→∞ )
    • Obliqui  ( se lim f(x) per x→ ∞ è = ∞ ,allora

                    calcola lim f(x)*1/x per x∞ ,se risulta un valore finito m ,

                    calcola lim ( f(x) – mx ) ,otterrai il valore di q

                      quindi l’equazione dell’asintoto obliquo sarà  y = mx + q

                                                                                                                             

 

      4.   Eventuali SIMMETRIE e/o PERIODICITA’

 

      5.   Intersezioni con gli Assi  coordinati

 

      6.  Segno di  f(x)   ( risolvi la disequazione   f(x) >0 )

     

  1. Calcola la derivata 1^,  f ’ (x)

 

 

  1. Poni  f ’ (x) =0  ,individuando le ascisse degli eventuali punti stazionari xi ( di Massimo,di minimo,di flesso a tangente orizzontale)

 

  1.  Studia il segno di  f ’ (x) per  individuare gli intervalli in cui f(x) è crescente (risolvendo la f ’ (x) >0  )  o decrescente (risolvendo la  f ’(x)<0  ) ,così da capire se gli eventuali punti xi  stazionari sono di Massimo,di minimo  o di flesso a tangente orizzontale,in tal caso  ne determini  le ordinate  f(xi )

Non dimenticare di calcolare l’ordinata del punto stazionario xi, sostituendo in    f(x)   alla x il valore xi  .

 

  1. ( 9bis  altro metodo ). Calcola la derivata 2^,  f ’’ (x)

 

  •  se f ’’ (xi)> 0  ,allora xi è punto di minimo,

 

  •  se f ’’ (xi) <0  ,allora xi è punto di Massimo

 

  • se f ’’ (xi) = 0  ,allora xi non è punto di Massimo né di minimo , ma potrebbe essere di flesso a tg orizzontale,per essere certo calcola la derivata 3^,  f ’’’ (x) . Se f ’’’(xi )≠0 allora è un punto di flesso

 

 

  1. Vi sono punti di flesso per la curva a tangente obliqua ( tangente  inflessionale y=mx+q).    Tali punti si trovano in corrispondenza dei valori xi  che annullano la derivata 2^,           f’’( xi)=0   ma  non la derivata terza    cioè    f ’’’(xi ) ≠0

 

 

 

  1. Ciò è confermato dalla concavità della curva,che si può stabilire studiando il segno della derivata 2^:

 

  1.  
    • se f’’( xi ) > 0 ,la concavità della curva è rivolta verso l’alto 
    • se f’’( xi)  <0  , la concavità della curva è rivolta verso il basso

 

 

 

 

  1. Vi sono anche punti di flesso a tangente verticale,si trovano in corrispondenza

           dei valori xi  per cui  non è definita la derivata 1^,pur potendo calcolare  tale derivata nell’intorno destro e sinistro del punto  xi  ( si tratta di punti a tangente verticale  con  m =∞ ). In tal caso si calcola lim f ’ (x) per x xi  ,se è = ∞, allora il punto xi  è una cuspide (*)

 

 

  1. Infine non dimenticare di cercare i punti critici: sono quei valori xi  in  cui  f (x) è continua ma non è derivabile:

 

  • sono punti angolosi se sono dotati di derivata destra e sinistra distinte ( curva con due tangenti distinte in f( x ))
  • sono cuspidi (*) se il valore della derivata in quei punti vale ∞ ( sono i valori scartati dal dominio della derivata 1^   f ’( x)).

 

 

  1. Per valutare il valore Massimo e minimo Assoluti ,nell’intervallo di definizione (a,b) ,

          infine calcola         f(a)     e     f(b)   e confronta con i risultati ottenuti.

 

16. Riporta le informazioni che ricavi su un piano cartesiano,quindi traccia il grafico della  curva.

      

 

     Potrebbe essere utile trovare l’equazione della tangente in qualche punto x0 , ricordiamo

            la    formula

 

                y – y0 = m ( x – x0 )        , dove   m = f ’ (x0 )    e          y0 = f (x0 ).

 

            

 letizietta51

 

 

 

 

                                                                                                                

Read Full Post »